واریانس

فرمول انحراف معیار

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تاریخ انتشار: 13:57 09 دي 1391

فرمول انحراف معیار

 
 

واریانس در واقع عددی است که نشان دهنده نحوه پراکندگی داده ها اطراف مقدار میانگین همان داده ها می باشد. برای محاسبه واریانس باید ابتدا اختلاف فاصله اندازه گیری شده را با مقداری که انتظار می رود وجود داشته باشد  محاسبه کرده، سپس مقدار محاسبه شده را به توان دو می رسانیم.

در واقع امید ریاضی یا میانگین عبارت است از حاصل ضرب احتمال پیشامد هریک از حالت ها در مقدار آن.

 

امید ریاضی یک توزیع پیوسته:

 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\mathbb{E}[X] = \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\int{xf_X(x)dx}

امید ریاضی یک توزیع گسسته:

 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\mathbb{E}[X] = \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\sum_{i=1}^{n}{x_ip_X(x_i)}

 
 

اگر  برابر با امید ریاضی یا میانگین متغیر X باشد، واریانس X به صورت زیر محاسبه می شود:

\\\\operatorname{Var}(X) = \\\\operatorname{E}[ ( X - \\\\mu ) ^ 2 ]\\\\,

\\\\begin{align}\\\\operatorname{Var}(X)    &= \\\\operatorname{E}[(X - \\\\mu)^2] \\\\\\\\&= \\\\operatorname{E}[X^2 - 2\\\\mu X + \\\\mu^2] \\\\\\\\   &= \\\\operatorname{E}[X^2] - 2\\\\mu\\\\,\\\\operatorname{E}[X] + \\\\mu^2 \\\\\\\\&= \\\\operatorname{E}[X^2] - 2\\\\mu^2 + \\\\mu^2 \\\\\\\\&= \\\\operatorname{E}[X^2] - \\\\mu^2 \\\\\\\\&= \\\\operatorname{E}[X^2] - (\\\\operatorname{E}[X])^2.   \\\\end{align}

حالت پیوسته:

\\\\operatorname{Var}(X) =\\\\int (x-\\\\mu)^2 \\\\, f(x) \\\\, dx\\\\,,

سایر خواص:

\\operatorname{Var}(aX+b)=\\operatorname{Var}(aX)=a^2\\operatorname{Var}(X).

\\operatorname{Var}(X+Y)=\\operatorname{Var}(X)+\\operatorname{Var}(Y)+2\\, \\operatorname{Cov}(X,Y),

\\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\\operatorname{Var}(X)+b^2\\operatorname{Var}(Y)+2ab\\, \\operatorname{Cov}(X,Y),

 
 

با استفاده از محاسبه گر زیر می توانید میانگین ، واریانس  و سایر معیار های مقادیر خود را بدست آورید

 
 

در نظریه احتمالات و آمار واریانس یا وردایی نوعی سنجش پراکندگی است.

مقدار واریانس با میانگین‌گیری از مربع فاصله مقدار محتمل و یا مشاهده شده با مقدار مورد انتظار محاسبه می‌شود. در مقایسه با میانگین می‌توان گفت که میانگین مکان توزیع را نشان می‌دهد، در حالی که واریانس مقیاسی است که نشان می‌دهد که داده‌ها حول میانگین چگونه پخش شده‌اند. واریانس کمتر بدین معنا است که انتظار می‌رود که اگر نمونه‌ای از توزیع مزبور انتخاب شود مقدار آن به میانگین نزدیک باشد. یکای واریانس مربع یکای کمیت اولیه می‌باشد. ریشه دوم واریانس که انحراف معیار نامیده می‌شود دارای واحدی یکسان با متغیر اولیه است...ادامه

 
 
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